Статья: биномиальные рекомбинирующие деревья с переменным шагом для расчета опционов (абрамов а.м.) ("управление в кредитной организации", 2010, n 1)

"Управление в кредитной организации", 2010, N 1
БИНОМИАЛЬНЫЕ РЕКОМБИНИРУЮЩИЕ ДЕРЕВЬЯ
С ПЕРЕМЕННЫМ ШАГОМ ДЛЯ РАСЧЕТА ОПЦИОНОВ
Современные универсальные банки являются активными участниками рынка производных финансовых инструментов. Для оптимального формирования портфеля таких инструментов осуществляется моделирование процесса управления портфелем во времени. Моделирование можно осуществлять с использованием дискретных древовидных моделей. В статье предложен метод построения дискретной древовидной модели, биномиального рекомбинирующего дерева с переменным шагом.
Управление портфелем финансовых инструментов, осуществляемое на основе многоэтапного стохастического программирования, в отличие от детерминированных моделей, таких как модель Марковитца, позволяет учитывать факт того, что после формирования портфеля в условиях неопределенности на определенном этапе инвестиционного горизонта может поступить дополнительная информация, на основании которой может быть принято решение об изменении состава портфеля.
Чтобы осуществлять подобное управление портфелем производных финансовых инструментов, необходимо моделирование изменения цены базового для инструментов актива. Для этой цели широко используются древовидные модели. Принципы построения биномиальных и триномиальных деревьев описаны, например, в [1]. Впервые способ формирования двоичного дерева с постоянным шагом и расчета цены опционов был предложен в [2]. В литературе, однако, отсутствует описание алгоритмов построения биномиального рекомбинирующего дерева, где приращение времени является величиной переменной. Для моделирования портфеля производных инструментов дерево должно содержать вершины, соответствующие моментам экспирации опционов. Вследствие этого периоды времени между соседними этапами дерева могут быть неодинаковы.
Примечание. Управление портфелем на основе многоэтапного стохастического программирования позволяет учитывать при принятии решения о составе портфеля факт поступления в будущем новой информации.
В разд. 1 вводятся уравнение для сопоставления математического ожидания цены акции с ценой акции, ожидаемой на дереве, и уравнение для сопоставления дисперсии доходности акции с дисперсией доходности акции, определенной с помощью биномиального дерева. В разд. 2 приводится решение системы этих уравнений в аналитическом виде, а также предлагаются дополнительные ограничения, которые обеспечивают рекомбинацию ветвей дерева. В разд. 3 задача построения биномиального рекомбинирующего дерева с переменным шагом сводится к задаче оптимизации с ограничениями. В разд. 4 приводится пример построения биномиального дерева с переменным шагом.
1. Сопоставление математического ожидания и дисперсии
При построении биномиального дерева, отражающего изменение цены акции, для моделирования ее волатильности используются параметры u и d. Цена акции либо увеличивается в u раз, либо уменьшается пропорционально величине d (рис. 1). Вероятность роста цены акции равна p, тогда вероятность снижения составляет 1 - p.
Изменение цены акции в момент ДЕЛЬТАt
/\ S u
/ 0
/
/
/
/
p /
/
/
/
/
/ 1 - p
S ----------------------------->
0 S d
0
Рисунок 1
Введем еще следующие обозначения: r - ожидаемая непрерывно начисляемая
доходность акции в процентах годовых, сигма - волатильность непрерывно
начисляемой доходности акции за один год в абсолютном выражении, ДЕЛЬТАt -
длина шага по времени. Цена акции, ожидаемая в конце первого расчетного
интервала, согласно формуле непрерывного начисления процентов, составляет
rДЕЛЬТАt
S e , где e - экспонента. На биномиальном дереве цена акции,
0
ожидаемая в этот момент, равна pS u + (1 - p)S d.
0 0
Примечание. Для моделирования портфеля производных инструментов дерево распределения цены базового актива должно содержать вершины, соответствующие моментам экспирации опционов.
Чтобы сопоставить цену акции, ожидаемую в конце первого расчетного интервала, и цену акции, вычисленную с помощью биномиального дерева, запишем соответствующее уравнение:
rДЕЛЬТАt rДЕЛЬТАt
pS u + (1 - p)S d = S e => pu + (1 - p)d = e => (1)
0 0 0
rДЕЛЬТАt
e - d
p = -------------.
u - d
Дисперсия доходности акции пропорциональна времени и равна
2
сигма ДЕЛЬТАt.
Запишем дисперсию доходности за время ДЕЛЬТАt, определенную с помощью
биномиального дерева:
2 2
- / \ ¬ - / \ ¬
¦ ¦S - S ¦¦ ¦ ¦S ¦¦
¦ ¦ ДЕЛЬТАt 0 ¦¦ ¦ ¦ ДЕЛЬТАt ¦¦
¦сигма¦------------- ¦¦ = ¦сигма¦-------- - 1¦¦ =
¦ ¦ S ¦¦ ¦ ¦ S ¦¦
¦ ¦ 0 ¦¦ ¦ ¦ 0 ¦¦
L \ / - L \ / -
2 2 2
- / \ ¬ / / \ \ - / \ ¬
¦ ¦S ¦¦ ¦ ¦S ¦ ¦ ¦ ¦S ¦¦
¦ ¦ ДЕЛЬТАt¦¦ ¦ ¦ ДЕЛЬТАt¦ ¦ ¦ ¦ ДЕЛЬТАt¦¦ 2
¦сигма¦--------¦¦ = M¦ ¦--------¦ ¦ - ¦M¦--------¦¦ = (pu + (1 -
¦ ¦ S ¦¦ ¦ ¦ S ¦ ¦ ¦ ¦ S ¦¦
¦ ¦ 0 ¦¦ ¦ ¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 ¦¦
L \ / - \ \ / / L \ / -
2 2
- p)d ) - [pu + (1 - p)d] ,
так как
/ \
¦S ¦
¦ ДЕЛЬТАt¦
M¦--------¦ = pu + (1 - p)d,
¦ S ¦
¦ 0 ¦
\ /
где S - цена, ожидаемая на дереве через время ДЕЛЬТАt;
ДЕЛЬТАt
/ \
¦S ¦
¦ ДЕЛЬТАt¦
M¦--------¦ - математическое ожидание отношения цены через время
¦ S ¦
¦ 0 ¦
\ /
ДЕЛЬТАt к текущей цене.
Чтобы сопоставить волатильность доходности акции с параметрами дерева, составим следующее уравнение:
2 2 2 2
pu + (1 - p)d - (pu + (1 - p)d) = сигма ДЕЛЬТАt. (2)
Подставляя выражение (1) в (2), получаем
rДЕЛЬТАt 2rДЕЛЬТАt 2
e (u + d)- ud - e = сигма ДЕЛЬТАt. (3)
2. Ограничения, необходимые для построения дерева
Решим уравнение (3) относительно d:
rДЕЛЬТАt 2rДЕЛЬТАt 2 rДЕЛЬТАt
e (u + d) - ud - e = сигма ДЕЛЬТАt => ue +
rДЕЛЬТАt 2rДЕЛЬТАt 2 rДЕЛЬТАt
+ de - ud - e = сигма ДЕЛЬТАt => d(e - u) =
2 2rДЕЛЬТАt 2rДЕЛЬТАt
= сигма ДЕЛЬТАt + e - ue => d =
2 2rДЕЛЬТАt rДЕЛЬТАt
сигма ДЕЛЬТАt + e - ue
= ---------------------------------------.
rДЕЛЬТАt
e - u
2 2rДЕЛЬТАt
Обозначим a = сигма ДЕЛЬТАt, b = e . Тогда:
2
a + b - ub a + b(b - u) a + b(b - u)
d = ----------- => d = ------------ => d = ------------ => d =
b - u b - u b - u
a
= b + -----.
b - u
a
Исследуем поведение функции d(u) = b + -----.
b - u
Область определения функции:
d(u) принадлежит (-бесконечность; b) U (b; +бесконечность).
' a
Проверим наличие точек перегиба функции: d = --------, следовательно,
u 2
(b - u)
'
d /= 0 при любых u: (-бесконечность; +бесконечность). Перегибы отсутствуют.
u
Функция содержит следующие асимптоты: limd = b,
u --> +бесконечность
limd = b.
u --> -бесконечность
Из содержательных соображений параметр d должен принадлежать интервалу (0; 1), параметр u - интервалу (1; +бесконечность). Исследуем точки, важные для структуры формируемого дерева:
a
d = b + ----- => d(b - u) = b(b - u) + a => (b - u)(d - b) = a => u =
b - u
a
= b - -----.
d - b
Отсюда
a
d = 1 => u = b + -----;
b - 1
a
d = 0 => u = b + -.
b
Из графика функции на рисунке 2 видно, что в точке u = b =
2rДЕЛЬТАt
e > 1 функция d(u) терпит разрыв. Для каждого d принадлежит (0; 1)
/ a a \
существует единственное u принадлежит ¦b + - ; b + ------¦, такое, что
\ b b - 1/
(u, d) удовлетворяет уравнениям для первых двух моментов (1) и (2). Для
каждой пары (u, d), где d принадлежит (0; 1),
rДЕЛЬТАt
/ a a \ e - d
u принадлежит ¦b + -; b + ------¦, величина p = ------------- принадлежит
\ b b - 1/ u - d
интервалу (0; 1), то есть значение p имеет смысл вероятности, поскольку
2
a rДЕЛЬТАt сигма ДЕЛЬТАt rДЕЛЬТАt
u > b + - = e + ------------- > e .
b rДЕЛЬТАt
e
График зависимости d(u), вытекающей из уравнений (1) и (2)
4-- - - - - - T - - - - - T- - - - - TT- - - - - -T - - - - - T- - - - - ¬
¦ ¦
3+- - - - - - + - - - - - + - - - - -++ - - - - - + - - - - - +- - - - - +
¦ ¦
2+- - - - - - + - - - - - + - - - - -++ - - - - - + - - - - - + - - - - -+
+------------------------+-----------
1+- - - - - - + - - - - - + - - - - - + ----------+-----------+----------+
¦ ¦
d 0+------------+-----------+-----------+-+---------+-----------+----------+
¦ -1 0 1 ¦ 2 3
-1+- - - - - - + - - - - - + - - - - - + +- - - - -+ - - - - - + - - - - -+
¦ ¦
-2+- - - - - - + - - - - - + - - - - - + + - - - - +- - - - - -+- - - - - +
¦ ¦
-3+- - - - - - + - - - - - + - - - - - + + - - - - + - - - - - + - - - - -+
¦ ¦
-4L - - - - - -+ - - - - - +- - - - - -+-+- - - - -+ - - - - - + - - - - --
u
Рисунок 2
Таким образом, для каждого узла дерева существует множество пар (u, d), таких, что одновременно удовлетворяют уравнениям (1) и (2). Требование рекомбинации ветвей дерева связывает выбор пар (u, d) для разных узлов дерева, таким образом, задача построения дерева требует решения единой системы уравнений для всего дерева. Система уравнений должна обеспечивать рекомбинацию ветвей дерева, а также удовлетворять уравнениям (1) и (2). Предлагается следующая система уравнений:
rДЕЛЬТАt
i i i i j
p u + (1 - p )d = e , (4)
j j j j
при любых (i, j): j = 1...n, i = 1...j,
i i2 i i2 i i i i 2 2
p u + (1 - p )d - (p u + (1 - p )d ) = сигма ДЕЛЬТАt , (5)
j j j j j j j j j
при любых (i, j): j = 1...n, i = 1...j,
i i i
s u = s , при любых (i, j): j = 1...(n - 1), i = 1...j, (6)
j j j+1
i i i+1
s d = s , при любых (i, j): j = 1...(n - 1), i = 1...j, (7)
j j j+1
1
S = S , (8)
1 0
i
0 < d < 1, (9)
j
где j - номер этапа дерева;
i - номер вершины на этапе j;
i
s - значение цены в узле (i, j);
j
i
u - значение коэффициента роста цены из узла (i, j);
j
i
d - значение коэффициента снижения цены из узла (i, j);
j
i i
p - значение вероятности роста с коэффициентом u в узле (i, j);
j j
ДЕЛЬТАt - величина приращения времени между этапами j и j + 1 в годах;
j
S - значение цены в начальный момент времени (1, 1).
0
Уравнения (6) и (7) определяют структуру дерева. Согласно им, каждая
вершина дерева (i, j), кроме тех вершин, которые относятся к последнему
этапу, дает две вершины на этапе j + 1. Одна - в случае роста цены
i i
пропорциональна u , вторая - в случае снижения цены пропорциональна d .
j j
Например, на втором этапе первая вершина дает первую и вторую вершины на
третьем этапе, а вторая вершина дает вторую и третью на третьем этапе.
Таким образом, обеспечивается рекомбинация.
3. Задача построения дерева как задача оптимизации
Задача