Статья: биномиальные рекомбинирующие деревья с переменным шагом для расчета опционов (абрамов а.м.) ("управление в кредитной организации", 2010, n 1)

построения биномиального дерева с переменным шагом требует решения соответствующей системы уравнений (4) - (9). Решение может быть не единственным. Целесообразно свести данную задачу к задаче оптимизации с ограничениями.
Примечание. Задачу построения биномиального рекомбинирующего дерева с переменным шагом целесообразно решать как задачу оптимизации с ограничениями.
В качестве целевой функции выберем сумму квадратов отклонения значения величины вероятности роста от значения 0,5 в узлах дерева. Данный критерий оптимизации позволит обеспечить лучшую сходимость дискретной модели изменения стоимости базового актива - биномиального дерева к непрерывному процессу, описываемому обобщенным винеровским процессом. Получаем задачу квадратичного программирования с ограничениями (линейными и нелинейными):
- n j i 2
f(p) = SUM SUM (p - 0,5) --> min,
j=1 i=1 j
rДЕЛЬТАt
i i i i j
p u + (1 - p )d = e , при любых (i, j): j = 1...n, i = 1...j,
j j j j
i i2 i i2 i i i i 2 2
p u + (1 - p )d - (p u + (1 - p )d ) = сигма ДЕЛЬТАt ,
j j j j j j j j j
при любых (i, j): j = 1...n, i = 1...j,
i i i
s u = s , при любых (i, j): j = 1...(n - 1), i = 1...j,
j j j+1
i i i+1
s d = s , при любых (i, j): j = 1...(n - 1), i = 1...j,
j j j+1
1
S = S ,
1 0
i
0 < d < 1,
j
где j - номер этапа дерева;
i - номер вершины на этапе j;
i
s - значение цены в узле (i, j);
j
i
u - значение коэффициента роста цены из узла (i, j);
j
i
d - значение коэффициента снижения цены из узла (i, j);
j
i i
p - значение вероятности роста с коэффициентом u в узле (i, j);
j j
ДЕЛЬТАt - величина приращения времени между этапами j и j + 1 в годах;
j
S - значение цены в начальный момент времени (1, 1).
0
4. Пример построения биномиального
дерева с переменным шагом
Построим биномиальное дерево с переменным шагом, содержащее 6 этапов.
Акция характеризуется следующими параметрами: текущая цена акции S = 100,
0
ожидаемая доходность акции r = 5% в год, волатильность доходности акции
сигма = 30% в год. Приращение времени между этапами дерева в годах
ДЕЛЬТАt принадлежит [0,03; 0,02; 0,01; 0,025; 0,015]. В результате решения
задачи оптимизации с ограничениями, сформулированной в разд. 3, получаем
дерево, представленное на рисунке 3.
Биномиальное дерево с переменным шагом, содержащее 6 этапов
-------------¬
¦ 217,15 ¦
-------------+------------+
¦ 214,56 ¦ ¦
------------+------------+------------+
¦ 143,25 ¦ ¦ 143,62 ¦
------------+-----------+------------+------------+
¦ 141,91 ¦ ¦ 141,62 ¦ ¦
-----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 102,61 ¦ ¦ 102,23 ¦ ¦ 102,00 ¦
-------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 100,00 ¦ ¦ 101,37 ¦ ¦ 100,69 ¦ ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 69,64 ¦ ¦ 69,64 ¦ ¦ 69,79 ¦
L----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 68,95 ¦ ¦ 68,75 ¦ ¦
L-----------+-----------+------------+------------+
¦ 50,92 ¦ ¦ 50,92 ¦
L-----------+------------+------------+
¦ 50,08 ¦ ¦
L------------+------------+
¦ 38,46 ¦
L-------------
-------------T----------T-----------T-----------T------------T------------¬
¦ 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+-------------
Рисунок 3
Для оценки точности отражения процесса изменения цены акции биномиальным деревом получим оценки стоимости фондового опциона в каждом узле дерева по формулам Кокса - Росса - Рубинштейна (формулы КРР), предложенным в [2]. Сравним полученные результаты с оценками стоимости фондового опциона в каждом узле дерева с помощью модели Блэка - Шоулса.
Стоимость опциона f, рассчитанная по дереву, равна
-rДЕЛЬТАt
f = e (pf + (1 - p)f ),
u d
где f - стоимость опциона в случае роста цены базового актива
u
пропорционально величине u;
f - стоимость опциона в случае снижения цены базового актива
d
пропорционально величине d. Остальные обозначения соответствуют введенным
ранее.
Стоимость опциона в момент экспирации T равна
c = max(S - K, 0),
T
p = max(K - S , 0),
T
где c - стоимость опциона "колл",
p - стоимость опциона "пут",
K - цена исполнения опциона.
Формулы Блэка - Шоулса, предложенные в [3], для вычисления цен европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций в момент t имеют следующий вид:
-r(T-t)
c = S N(d ) - Ke N(d ),
t 1 2
-r(T-t)
p = Ke N(-d ) - S N(-d ).
2 t 1
Здесь
2 2
ln(S / K) + (r + сигма / 2) (T - t)
t
d = -------------------------------------,
1 -------
сигма \/(T - t)
2 2
ln(S / K) + (r + сигма / 2) (T - t)
t -------
d = ------------------------------------- = d - сигма \/(T - t).
2 ------- 1
сигма \/(T - t)
Опцион имеет следующие характеристики: тип - опцион на покупку ("колл"), базовый актив - акция, характеристики которой указаны в начале разд. 3, цена исполнения опциона K = 69. Оценки стоимости фондового опциона в каждом узле дерева, рассчитанные по дереву, представлены на рисунке 4, рассчитанные с помощью модели Блэка - Шоулса - на рисунке 5. Относительные отклонения стоимостей опциона в узлах дерева даны на рисунке 6.
Оценки стоимости опциона, рассчитанные по дереву
-------------¬
¦ 148,15 ¦
-------------+------------+
¦ 145,61 ¦ ¦
------------+------------+------------+
¦ 74,39 ¦ ¦ 74,62 ¦
------------+-----------+------------+------------+
¦ 73,08 ¦ ¦ 72,68 ¦ ¦
-----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 33,87 ¦ ¦ 33,37 ¦ ¦ 33,00 ¦
-------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 31,48 ¦ ¦ 32,56 ¦ ¦ 31,74 ¦ ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 2,37 ¦ ¦ 1,70 ¦ ¦ 0,79 ¦
L----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 1,64 ¦ ¦ 0,75 ¦ ¦
L-----------+-----------+------------+------------+
¦ 0,04 ¦ ¦ 0,00 ¦
L-----------+------------+------------+
¦ 0,00 ¦ ¦
L------------+------------+
¦ 0,00 ¦
L-------------
-------------T----------T-----------T-----------T------------T------------¬
¦ 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+-------------
Рисунок 4
Оценки стоимости опциона, рассчитанные
по модели Блэка - Шоулса
-------------¬
¦ 148,15 ¦
-------------+------------+
¦ 145,61 ¦ ¦
------------+------------+------------+
¦ 74,38 ¦ ¦ 74,62 ¦
------------+-----------+------------+------------+
¦ 73,08 ¦ ¦ 72,68 ¦ ¦
-----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 33,85 ¦ ¦ 33,37 ¦ ¦ 33,00 ¦
-------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 31,34 ¦ ¦ 32,54 ¦ ¦ 31,74 ¦ ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 2,66 ¦ ¦ 2,08 ¦ ¦ 0,79 ¦
L----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 1,90 ¦ ¦ 0,91 ¦ ¦
L-----------+-----------+------------+------------+
¦ 0,00 ¦ ¦ 0,00 ¦
L-----------+------------+------------+
¦ 0,00 ¦ ¦
L------------+------------+
¦ 0,00 ¦
L-------------
-------------T----------T-----------T-----------T------------T------------¬
¦ 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+-------------
Рисунок 5
Относительные отклонения стоимости опциона в узлах дерева,
рассчитанной по дереву, от стоимости, полученной
по модели Блэка - Шоулса
-------------¬
¦ 0,00% ¦
-------------+------------+
¦ 0,00% ¦ ¦
------------+------------+------------+
¦ 0,00% ¦ ¦ 0,00% ¦
------------+-----------+------------+------------+
¦ 0,00% ¦ ¦ 0,00% ¦ ¦
-----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 0,07% ¦ ¦ 0,00% ¦ ¦ 0,00% ¦
-------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 0,42% ¦ ¦ 0,07% ¦ ¦ 0,00% ¦ ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ 0,42% ¦ ¦ -18,24% ¦ ¦ 0,00% ¦
L----------+-----------+-----------+------------+------------+
¦ -11,10% ¦ ¦ -17,88% ¦ ¦
L-----------+-----------+------------+------------+
¦ - ¦ ¦ 0,00% ¦
L-----------+------------+------------+
¦ 0,00% ¦ ¦
L------------+------------+
¦ 0,00% ¦
L-------------
-------------T----------T-----------T-----------T------------T------------¬
¦ 1 ¦ 2 ¦ 3 ¦ 4 ¦ 5 ¦ 6 ¦
L------------+----------+-----------+-----------+------------+-------------
Рисунок 6
Как видно из рисунка 6, в большинстве вершин биномиального рекомбинирующего дерева с переменным шагом, полученного с помощью решения задачи оптимизации, сформулированной в разд. 3, стоимость опциона, рассчитанная по дереву, имеет высокую точность.
Выводы. В данной статье сформулирована дискретная